Question

给出下列四个命题：
①△ABC中，A＞B是sinA＞sinB成立的充要条件；
②当x＞0且x≠1时，有lnx+

1

lnx

≥2；
③已知S_n是等差数列{a_n}的前n项和，若S₇＞S₅，则S₉＞S₃；
④若函数y=f(x-

3

2

)为R上的奇函数，则函数y=f（x）的图象一定关于点F(

3

2

，0)成中心对称．
⑤函数f（x）=cos³x+sin²x-cosx（x∈R）有最大值为2，有最小值为0．
其中所有正确命题的序号为

①，③

．

Answer 1

分析：对于①先证充分性；再证必要性；根据对数函数的图象和性质及对勾函数的图象和性质，可以判断②的真假；
等差数列的前n项和的性质，对③进行判断，即可判断③的正误．利用函数的对称性判断④的正误；将函数y=cos³x+sin²x-cosx转化为y=cos³x-cos²x-cosx+1，利用基本不等式，求得最大值．判断正误．

解答：解：对于①，1°由题意，在△ABC中，“A＞B”，由于A+B＜π，必有B＜π-A
若A，B都是锐角，显然有“sinA＞sinB”成立，
若A，B之一为锐角，必是B为锐角，此时有π-A不是钝角，由于A+B＜π，必有B＜π-A≤

π

2

，此时有sin（π-A）=sinA＞sinB
综上，△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的充分条件
2°研究sinA＞sinB，若A不是锐角，显然可得出A＞B，若A是锐角，亦可得出A＞B，
综上在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的必要条件
综合1°，2°知，在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的充要条件，所以①正确．
对于②当x＞0且x≠1时，有lnx+

1

lnx

≥2或lnx+

1

lnx

≤2，故②错误；
对于③，若S_n是等差数列{a_n}的前n项和，若S₇＞S₅，说明若a₄＞a₃，即公差d＞0，则a₅＞a₂，即S₉＞S₃，∴③正确．
对于④，若函数y=f(x-

3

2

)为奇函数，则函数y=f（x）的图象关于点F(

3

2

，0)成中心对称，命题是假命题．
对于⑤，：∵y=cos³x+sin²x-cosx
=cos³x-cos²x-cosx+1
=cos²x（cosx-1）+（1-cosx）
=（1-cosx）（1-cos²x）
=（1-cosx）（1-cosx）（1+cosx）
=

1

2

（1-cosx）（1-cosx）（2+2cosx），
∵1-cosx≥0，2+2cosx≥0，
∴（1-cosx）（1-cosx）（2+2cosx）≤（

(1-cosx)+(1-cosx)+(2+2cosx)

3

）3=

64

27

，
当且仅当1-cosx=2+2cosx，即cosx=-

1

3

时取“=”．
∴y=

1

2

（1-cosx）（1-cosx）（2+2cosx）≤

32

27

．
所以⑤不正确．
故答案为：①③．

点评：本题考查三角函数的最值，函数的周期性，充要条件的应用，基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力．