Question

已知函数f（x）=|x²-1|-2a+3，下列五个结论：
①当a＜

3

2

时，函数f（x）没有零点；
②当a=

3

2

时，函数f（x）有两个零点；
③当

3

2

＜a＜2时，函数f（x）有四个零点；
④当a=2时，函数f（x）有三个零点；
⑤当a＞2时，函数f（x）有两个零点．
其中正确的结论的序号是

①②③④⑤

．（填上所有正确结论的序号）

Answer 1

分析：f（x）=|x²-1|-2a+3，由f（x）=0，得|x²-1|=2a-3，由此利用绝对值的性质对a的取值进行分类讨论，能够求出结果．

解答：解：∵f（x）=|x²-1|-2a+3，∴由f（x）=0，得|x²-1|=2a-3，
①当a＜

3

2

时，∵2a-3＜0，|x²-1|≥0，
∴|x²-1|=2a-3无解，
∴当a＜

3

2

时，函数f（x）没有零点，故①正确；
②当a=

3

2

时，2a-3=0，|x²-1|≥0，
∴由|x²-1|=2a-3，得|x²-1|=0，解得x=±1，
∴当a=

3

2

时，函数f（x）有两个零点，故②正确；
③当

3

2

＜a＜2时，0＜2a-3＜1，则|x²-1|=2a-3，
解得x=±

2a-2

，或x=±

4-2a

，
∴当

3

2

＜a＜2时，函数f（x）有四个零点，故③正确；
④当a=2时，2a-3=1，
由|x²-1|=2a-3，得|x²-1|=1，解得x=0，或x=±

2

．
∴当a=2时，函数f（x）有三个零点，故④正确；
⑤当a＞2时，2a-3＞1，则|x²-1|=2a-3，
解得x=±

2a-2

．
∴当a＞2时，函数f（x）有两个零点，故⑤正确．
故答案为：①②③④⑤．

点评：本题考查函数的零点个数的判断，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想、等价转化思想和绝对值性质的合理运用．