Question

已知A，B，C为锐角△ABC的三个内角，向量

m

=（2-2sinA，cosA+sinA）与

n

=（sinA-cosA，1+sinA）共线．
（1）求角A的大小；
（2）求函数y=2sin2B+cos

C-3B

2

的值域．

Answer 1

分析：（1）由已知

m

 与

n

共线，利用向量共线的条件及A为锐角整理可得，sinA=

3

2

，从而可求
（2）结合（1）中的条件可把所求函数式化简得，y=sin2Bcos

π

6

-cos2Bsin

π

6

+1，利用辅助角公式可得
y=sin2B-

π

6

）+1，结合题中锐角三角形的条件可求B的范围，进而求出函数的值域

解答：解：（1）

m

=(2-2sinA，cosA+sinA)  ，

n

=（sinA-cosA，1+sinA）且

m

与

n

共线，得
（2-2sinA）（1+sinA）-（sinA-cosA）（cosA+sinA）=0
化简，得sinA=±

3

2

又△ABC是锐角三角形∴sinA=

3

2

即A=

π

3

（2）由A=

π

3

得B+C=

2π

3

，即C=

2π

3

-B
y=2sin²B+cos

C-3B

2

=2sin2B+cos(

π

3

-2B)
=1-cos2B+cos

π

3

cos2B+sin

π

3

sin2B
=1+sin2Bcos

π

6

-cos2Bsin

π

6

=sin(2B-

π

6

)+1
∵

π

2

-A＜B＜

π

2

∴

π

6

＜B＜

π

2

∴

π

3

＜2B＜π∴

π

6

＜2B-

π

6

＜

5π

6

∴

1

2

＜sin(2B-

π

6

)≤1．故

3

2

 ＜sin(2B-

π

6

)+1≤2
因此函数y=2sin²B+cos

C-2B

2

的值域为（

3

2

，2]

点评：本题主要考查了向量平行的坐标表示，特殊角的三角函数值，和差角公式的运用，正弦函数的值域的求解等知识，综合的知识较多，但都是基本方法的考查，要求考生具备扎实的基本功．熟练的运用知识