Question

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=2。

（1）证明：平面PBE⊥平面PAB；
（2）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小。

Answer 1

解：（1）如图所示，连结BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知， △BCD是等边三角形 因为E是CD的中点， 所以BE⊥CD 又AB∥CD 所以BE⊥AB 又因为PA⊥平面ABCD， 平面ABCD， 所以PA⊥BE 而PA∩AB=A 因此BE⊥平面PAB 又平面PBE， 所以平面PBE⊥平面PAB。 （2）过点A作AH⊥PB于H，由（1）知平面PBE⊥平面PAB 所以AH⊥平面PBE. 在Rt△ABF中，因为∠BAF=60°， 所以，AF=2AB=2=AP 在等腰Rt△PAF中，取PF的中点G，连接AG 则AG⊥PF 连结HG，由三垂线定理的逆定理得，PF⊥HG 所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（锐角） 在等腰Rt△PAF中， 在Rt△PAB中， 所以，在Rt△AHG中， 故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是。