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已知双曲线的离心率为e,右顶点为A,左、右焦点分别为,点E为右准线上的动点,的最大值为
(1)若双曲线的左焦点为,一条渐近线的方程为,求双曲线的方程;
(2)求(用表示);
(3)如图,如果直线l与双曲线的交点为P、Q,与两条渐近线的交点为O为坐标原点,求证:
,
解:(1)方法1 设双曲线的方程为,则其渐近线的方程为,即.又∵一条渐近线的方程是,∴,得.故双曲线的方程为
方法2 ∵双曲线的一条渐近线是,即,∴可设双曲线的方程为.∵焦点是,∴由,∴,∴双曲线的方程为
(2)设经过点A的圆C与准线相切于点M,交于点N
(当EM重合时取“=”),
.∵,∴,又∵
∴圆C的半径.由正弦定理得

(3)证明:方法1 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为,代入中得.设,线段PQ的中点为,则.同理,将代入渐近线方程中得
.设,线段的中点为,则
,∴,即线段PQ与线段有共同的中点.当直线l的斜率不存在时,即直线l垂直于x轴时,由对称性可知线段PQ与线段有共同的中点.∴,即
方法2 当直线l的斜率不存在或为零时,即直线l垂直于x轴或垂直于y轴时,由对称性可知线段PQ与线段有共同的中点,∴
当直线l的斜率存在且不为零时,可设l.设PQ的中点为的中点为,则由点差法可得,且,∴点G在直线,即上.又∵点G在直线l上,∴点G同为直线的交点.
故点G重合,∴,即
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