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    已知抛物线x=
    1
    4
    y2的焦点与椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的一个焦点重合，F1、F2是椭圆C的左、右焦点，Q是椭圆C上任意一点，且
    QF1
    •
    QF2
    的最大值是3．
    （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
    （Ⅱ）过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P（m，0），使得PM、PN为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由．
    考点：直线与圆锥曲线的综合问题
    专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
    分析：（Ⅰ）由题意推导出椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的焦点为F1（-1，0），F2（1，0），设Q（x，y），则
    QF1
    •
    QF2
    =b2-1+
    c2
    a2
    x2    ≤b2-1+c2，由此能求出椭圆方程．
    （Ⅱ）由题意知l：y=k（x-1），联立
    y=k(x-1)
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1
    ，得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，利用韦达定理结合已知条件推导出存在满足题意的点P且能求出m的取值范围．
    解答： 解：（Ⅰ）∵抛物线x=
    1
    4
    y2的焦点坐标为F（1，0），
    ∴由题意知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的焦点为F1（-1，0），F2（1，0），
    ∴c=1，
    设Q（x，y），则
    QF1
    •
    QF2
    =（-1-x，-y）•（1-x，-y）=x2-1+y2
    =x2-1+b2(1-
    x2
    a2
    )
    =b2-1+
    c2
    a2
    x2    ，
    ∵-a≤x≤a，
    ∴
    QF1
    •
    QF2
    =b2-1+
    c2
    a2
    x2    ≤b2-1+c2，
    ∴b2-1+c2=3，
    ∴b2+c2=4=a2，
    ∴a2=4，b2=3，
    ∴椭圆方程为
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1    ．
    （Ⅱ）由题意知l：y=k（x-1），
    联立
    y=k(x-1)
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1
    ，整理，得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，
    设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=
    8k2
    3+4k2
    ，
    y1+y2=k（x1+x2-2），
    PM
    +
    PN
    =（x1-m，y1）+（x2-m，y2）
    =（x1+x2-2m，y1+y2），
    ∵菱形的对角线互相垂直，∴（
    PM
    +
    PN
    ）•
    MN
    =0，
    ∴（x1-x2）[x1+x2-2m+k（y1+y2）]=0，
    ∴k（y1+y2）+x1+x2-2m=0，
    ∴k2（x1+x2-2）+x1+x2-2m=0，
    ∴k2(
    8k2
    3+4k2
    -2)+
    8k2
    3+4k2
    -2m=0    ，
    由已知条件知k≠0，且k∈R，
    ∴m=
    k2
    3+4k2
    =
    1
    3
    k2
    +4
    ，∴0＜m＜
    1
    4
    ，
    ∴存在满足题意的点P且m的取值范围是（0，
    1
    4
    ）．
    点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断，综合性强，难度大，具有一定的探索性，解题时要注意函数方程思想的合理运用．
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    ．

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    a
    x
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    4
    		2
    3
    ，|CD|=2-
    4
    		2
    3
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    MP
    =λ0
    PN
    ，且P点到A、B的距离和为定值，求点P的轨迹E的方程；
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    1
    2
    ）的直线与轨迹E交于P、Q两点，求△OPQ面积的最大值．

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    f(x1)-(x2)
    x1-x2
    ＜0    ，则称函数f（x）为“理想函数”．
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    （2）f（x）=x2；
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    -x2，x≥0
    x2，x＜0
    ，
    能被称为“理想函数”的有
     
    （填相应的序号）．

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