Question

已知数列{a_n}中，a_n-a_n-1=-2，a₁=20．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n及前n项和S_n；
（2）求使S_n最大的序号n的值；
（3）求数列{|a_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）知数列{a_n}是等差数列，首项是20，公差为-2，代入通项公式和前n项和公式直接求出．
（2）求出项为0的序号n，即是使S_n最大的序号n，n-1也满足题意．
（3）当n≤11时，数列{|a_n|}中的项与数列{a_n}中的项相同，所以前n项和也相同，当n＞11时，数列{|a_n|}中的项与数列{a_n}中的项互为相反数，所以需要减去第11项之后的数，所以得到T_n=S₁₁-（S_n-S₁₁）=2S₁₁-S_n最后要写为分段函数的形式．

解答：解：（1）∵a_n-a_n-1=-2，a₁=20，∴数列{a_n}是以20为首项，-2为公差的等差数列，
∴a_n=20-2（n-1）=-2n+22，S_n=20n-n（n-1）=21n-n²．
（2）令a_n=0，-2n+22=0，n=11，
∴当n=10或n=11时，使S_n最大．
（3）①n≤11（n∈N₊）时，T_n=S_n=21n-n²，
②n＞11（n∈N₊）时，a₁₂=-2×12+22=-2，S₁₁=S₁₀=21×10-10²=110，
T_n=S₁₁-（S_n-S₁₁）=2S₁₁-S_n=220-21n+n²，
T_n=

21n-n2         (n≤11，n∈N+) n2-21n+220 (n＞11，n∈N+)

．

点评：考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，用代入法直接可求；一个递减数列，求使S_n最大的序号n的值有两种方法，一种从通项公式入手，求非负的最后一项和非正的最前一项，第二种从前n项和公式入手，自变量为多少时，二次函数求最值，；求数列{|a_n|}的前n项和T_n时，要注意分类讨论，讨论后要写成分段函数的形式，因为这是一个函数．