Question

（本题满分10分）设命题p：实数x满足x²－4ax＋3a²<0，其中a>0，

命题q：实数x满足

(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；

(2)非p是非q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

 

(1)(2,3)．(2)实数a的取值范围是(1,2]．

【解析】本试题主要是考查了命题的真值，以及复合命题的真值判定，和充分条件和必要条件的判定的综合运用。

（1）先分别分析各个命题的真值为真的x的范围，然后利用交集为真，说明都是成立的x的范围可得。

（2）非p是非q的充分不必要条件利用等价命题可知q是p的充分不必要条件

说明前者的集合小于后者的集合，利用集合的包含关系解得。

解：(1)由x²－4ax＋3a²<0得

(x－3a)(x－a)<0.

又a>0，所以a<x<3a,

当a＝1时，1<x<3，

即p为真命题时，实数x的取值范围是1<x<3.

由

解得即2<x≤3.

所以q为真时实数x的取值范围是2<x≤3.

若p∧q为真，则⇔2<x<3，

所以实数x的取值范围是(2,3)．

(2)非p是非q的充分不必要条件，

即非p⇒非p且非q非q.

设A＝{x|x≤a或x≥3a}，B＝{x|x≤2或x>3}，

则A B.

所以0<a≤2且3a>3，即1<a≤2.

所以实数a的取值范围是(1,2]．