Question

如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中AD∥BC，PD⊥平面ABCD，AD=1，AB=

3

，BC=4．
（Ⅰ）求证：BD⊥PC；
（Ⅱ）求直线AB与平面PDC所成的角；
（Ⅲ）设点E在棱PC上，

PE

=λ

PC

，若DE∥平面PAB，求λ的值．

Answer 1

分析：如图，在平面ABCD内过D作直线DF∥AB，交BC于F，分别以DA、DF、DP所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
（1）只要证明

BD

•

PC

=0，即可得到BD⊥PC；
（2）由（1）即可得到平面PDC的法向量为

DB

，求出

AB

，求出向量

DB

与

AB

的夹角，即可得到线面角；
（3）先求出平面PAB的法向量

n

，若DE∥平面PAB，则

n

•

DE

=0，即可得出λ．

解答：解：如图，在平面ABCD内过D作直线DF∥AB，交BC于F，分
别以DA、DF、DP所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
（1）证明：设PD=a，得B(1，

3

，0)，P（0，0，a），C(-3，

3

，0)，
则

BD

=(-1，-

3

，0)，

PC

=(-3，

3

，-a)，
∵

BD

•

PC

=3-3=0，
∴BD⊥PC．
（2）由（1）知BD⊥面PDC， 

DB

就是平面PDC的法向量．
由条件知A（1，0，0），B（1，

3

，0），

AB

=(0，

3

，0) ， 

DB

=(1，

3

，0)．
设AB与面PDC所成角大小为θ，
则sinθ=

|DB • AB |

| DB |•| AB|

=

3

2 3

=

3

2

．
∵0°＜θ＜90°，∴θ=60°，
即直线AB与平面PDC所成角为60°．
（3）由（2）知C（-3，

3

，0），记P（0，0，a），
则

AB

=(0 ， 

3

 ， 0)，

DP

=(0 ， 0 ， a)，

PA

=(1，0，-a)，

PC

=(-3 ， 

3

 ，-a)，
而

PE

=λ

PC

，∴

PE

=(-3λ ， 

3

λ ，aλ)，

DE

=

DP

+

PE

=

DP

+λ

PC

=(0，0，a)+(-3λ ， 

3

λ ，-aλ)=(-3λ ， 

3

λ ，a-aλ)．
设

n

=(x，y，z)为平面PAB的法向量，则

AB • n =0 PA • n =0

，即

3 y=0 x-az=0

，即

y=0 x=az

．
取z=1，得x=a，进而得

n

=(a ， 0 ， 1)，
由DE∥平面PAB，得

DE

•

n

=0，∴-3aλ+a-aλ=0，而a≠0，∴λ=

1

4

．

点评：熟练掌握通过建立空间直角坐标系．利用向量垂直与数量积的关系、平面PDC的法向量为

DB

与斜线

AB

的夹角得到线面角、DE∥平面PAB?

n

•

DE

=0等是解题的关键．