Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）与双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线相交于一点M（1，m），点M到抛物线焦点的距离为3，则双曲线的离心率等于

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题设条件，利用抛物线的定义，求出抛物线方程，由此能求出m，再由双曲线的渐近线方程能求出

b

a

，从而能求出双曲线的离心率．

解答： 解：由题设知抛物线y²=2px（p＞0）过点M（1，m），
且点M到抛物线焦点的距离为3，
∴M（1，m）到抛物线的准线方程x=-

p

2

距离为3，
∴1-（-

p

2

）=3，解得p=4，
∴抛物线方程为y²=8x，
∴m=±2

2

，
∴双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线y=

b

a

x过点M（1，2

2

），
∴

b

a

=2

2

，
∴e=

c

a

=

a2+b2 a2

=

1+( b a )2

=

1+(2 2 )2

=3．
故答案为：3．

点评：本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，涉及到抛物线、双曲线、渐近线等知识点．