Question

已知函数f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax（a∈R）．
（Ⅰ）当a=2时，求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a＞0时，函数y=f（x）在闭区间[0，a+1]上的最大值为f（a+1），求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）a=2时，求出f'（x），解f'（x）＞0可得增区间，解f'（x）＜0可得减区间；
（2）令f'（x）=0可得x=1或x=a，按照a=1，0＜a＜1，a＞1三种情况讨论，利用导数研究函数的单调性，使其最大值为f（a+1）即可；

解答： 解：f′（x）=6x²-6（a+1）x+6a=6（x-1）（x-a），
（1）当a=2时，f′（x）=6（x-1）（x-a）=6（x-1）（x-2），
当x＜1或x＞2时，f′（x）＞0，当1＜x＜2，f′（x）＜0，
∴f（x）的单调增区间分别为（-∞，1），（2，+∞），f（x）的单调减区间为（1，2）；
（2）（Ⅰ）当a=1时，f′（x）=6（x-1）²≥0，f（x）在[0，a+1]上单调递增，最大值为f（a+1）；
（Ⅱ）当0＜a＜1时，列表如下：

x	0	（0，a）	a	（a，1）	1	（1，1+a）	a+1
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）		增	极大值f（a）	减		增

由表知f（x）在[0，a+1]上的最大值，只有可能是f（a）或 f（a+1），
∴只需f（a+1）-f（a）=（-a³+3a²+3a-1）-（-a³+3a²）=3a-1≥0，
解得a≥

1

3

，此时

1

3

≤a＜1；
（Ⅲ）当a＞1时，列表如下：

x	0	（0，1）	1	（1，a）	a	（a，1+a）	a+1
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）		增	极大值f（1）	减		增

由表知f（x）在[0，a+1]上的最大值，只有可能是f（1）或 f（a+1）
∴只需f（a+1）-f（1）=（-a³+3a²+3a-1）-（3a-1）=-a ³+3a²=-a²（a-3）≥0，
解得a≤3，此时1＜a≤3．
由（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）得

1

3

≤a≤3，
∴满足条件的a的取值范围是[

1

3

，3]．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、利用求函数在闭区间上的最值，考查分类讨论思想，考查学生分析问题解决问题的能力．