Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，已知Sn=

n 2   +3n

2

．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{c_n}满足cn=

an，n为奇数 2 n   ，n为偶数

，求数列{c_n}的前n项和T_n．
（Ⅲ）张三同学利用第（Ⅱ）题中的T_n设计了一个程序流程图，但李四同学认为这个程序如果被执行会是一个“死循环”（即程序会永远循环下去，而无法结束）．你是否同意李四同学的观点？请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用，a₁=S₁；当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1可求
（Ⅱ）根据题意需要分类讨论：当n为偶数和n为奇数两种情况，结合等差数列与等比数列的求和公式可求
（Ⅲ） 记d_n=T_n-P，结合（II）中的求和可得d_n，进而可判断d_n的单调性，分n为偶数，奇数两种情况讨论d_n的范围，结合所求d_n可判断其循环规律，从而可知判断

解答：解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁=2；
当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=n+1，则an=n+1(n∈N*)
（Ⅱ）当n为偶数时，Tn=(a1+a3+…+an-1)+(22+24+…+2n)=

n2+2n

4

+

4

3

(2n-1)
当n为奇数时，n-1为偶数，Tn=(a1+a3+…+an)+(22+24+…+2n-1)=

n2+4n+3

4

+

4

3

(2n-1-1)
则Tn=

n2+2n 4 + 4 3 (2n-1)，n偶数 n2+4n+3 4 + 4 3 (2n-1-1)，n奇数

（Ⅲ） 记d_n=T_n-P
当n为偶数时，dn=

4

3

(2n-1)-

47n

2

，dn+2-dn=2n+2-47．
所以从第4项开始，数列{d_n}的偶数项开始递增，而且d₂，d₄，…，d₁₀均小于2012，d₁₂＞2012，
则d_n≠2012（n为偶数）．
当n为奇数时，dn=

4

3

(2n-1-1)-23n+

3

4

，dn+2-dn=2n+1-46．
所以从第5项开始，数列{d_n}的奇数项开始递增，而且d₁，d₃，…，d₁₁均小于2012，d₁₃＞2012，
则d_n≠2012（n为奇数）
．故李四同学的观点是正确的．

点评：本题以程序框图为载体综合考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式及数列的和的求解，体现了分类 讨论思想的应用，