Question

如图所示，若点P为正方体AC₁的棱A₁B₁的中点，求截面PC₁D和AA₁B₁B所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：空间角

分析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体AC₁的棱长为2，求出平面PC₁D的法向量和平面AA₁B₁B的法向量，由此能求出截面PC₁D和AA₁B₁B所成的锐二面角的余弦值．

解答： 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
设正方体AC₁的棱长为2，
则P（2，1，2），C₁（0，2，2），D（0，0，0），

DP

=（2，1，2），

DC1

=（0，2，2），
设平面PC₁D的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • DP =2x+y+2z=0 n • DC1 =2y+2z=0

，取y=2，得

n

=（1，2，-2），
由题意平面AA₁B₁B的法向量

m

=（1，0，0），
设截面PC₁D和AA₁B₁B所成的锐二面角为θ，
cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=

| m • n |

| m |•| n |

=

1

3

，
∴截面PC₁D和AA₁B₁B所成的锐二面角的余弦值为

1

3

．

点评：本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力．