Question

（理科做） 如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，∠DBC=90°，BC=BD=2，AB=1，则BC和平面ACD所成角的
正弦值为

 

．

Answer 1

分析：以B为原点，以BC为x轴，以BD为y轴，以BA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BC和平面ACD所成角的正弦值．

解答：解：在三棱锥A-BCD中，
∵AB⊥平面BCD，∠DBC=90°，
∴以B为原点，以BC为x轴，以BD为y轴，以BA为z轴，
建立空间直角坐标系，
∵BC=BD=2，AB=1，
∴B（0，0，0），A（0，0，1），C（2，0，0），D（0，2，0），
∴

CB

=（-2，0，0），

CA

=（-2，0，1），

CD

=（-2，2，0），
设平面ACD的法向量为

n

=(x，y，z)，
则

n

•

CA

=0，

n

•

CD

=0，
∴

-2x+z=0 -2x+2y=0

，∴

n

=（1，1，2），
设直线BC和平面ACD所成角为θ，
则sinθ=|cos＜

CB

，

n

＞|=|

-2

2• 6

|=

6

6

．
故答案为：

6

6

．

点评：本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意等价转化思想和向量法的合理运用．