Question

某电脑公司生产A种型号的笔记本电脑，2006年平均每台电脑生产成本为5000元，并以纯利润20%标定出厂价。从2007年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低，2010年平均每台A种型号的笔记本电脑尽管出厂价仅是2006年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高效益．
(1)求2010年每台电脑的生产成本；
(2)以2006年的生产成本为基数，用二分法求2006~2010年生产成本平均每年降低的百分率(精确到0.01)。

Answer 1

解：(1)设2010年每台电脑的生产成本为P元，
根据题意，得P(1+50%)=5000×(1+20%)×80%，
解得P=3200(元)，
故2010年每台电脑的生产成本为3200元．
(2)设2006~2010年生产成本平均每年降低的百分率为x，
根据题意，得，
令f(x)=5000(1-x)⁴-3200，
作出x，f(x)的对应值表：

观察上表，可知f(0.1)·f(0.15)＜0，说明此函数在区间(0.1，0.15)内有零点x₀。
取区间(0.1，0.15)的中点x₁=0.125，可得f(0.125)≈-269，
因为f(0.125)·f(0.1)＜0，所以x₀∈(0.1，0.125)；
再取(0.1，0.125)的中点x₂=0.1125，可得f(0.1125)≈-98，
因为f(0.1)·f(0.1125)＜0，所以x₀∈(0.1，0.1125)；
同理可得，x₀∈(0.1，0.10625)，x₀∈(0.103125，0.10625)，x₀∈(0.1046875，0.10625)，
x₀∈(0.10546875，0.10625)，
由于|0.10546875-0.10625|＜0.01，
此时区间的两个端点精确到0.01的近似值都是0.11，
所以原方程的近似解为0.11，
故2006~2010年生产成本平均每年降低的百分率为11%．