Question

12．已知函数f（x）=-x³-x+sinx，不等式f（m+sinθ）+f（cos2θ）＞0对任意θ∈（0，$\frac{π}{2}$）都成立，则实数m的取值范围（-∞，-$\frac{25}{12}$）．

Answer 1

分析 根据条件判断函数f（x）的奇偶性和单调性，将不等式转化，利用参数分离法，利用换元法求出函数的最值即可．

解答 解：∵f（x）=-x³-x+sinx，
∴f（-x）=x³+x-sinx=-（-x³-x+sinx）=-f（x），则f（x）为奇函数，
则不等式f（m+sinθ）+f（cos2θ）＞0等价为f（m+sinθ）＞-f（cos2θ）=f（-2cos2θ），
函数f′（x）=-x²-1+cosx≤0，则函数f（x）为减函数，
则不等式等价为m+sinθ＜-2cos2θ对任意θ∈（0，$\frac{π}{2}$）都成立，
即m＜-sinθ-2cos2θ，
设y=g（θ）=-sinθ-2cos2θ=-sinθ-2[1-2sin²θ]=4sin²θ-sinθ-2，
设t=sinθ，∵θ∈（0，$\frac{π}{2}$），∴t∈（0，1），
则函数等价为y=4t²-t-2，对称轴为t=-$\frac{-1}{2×4}$=$\frac{1}{8}$，
∴当t=$\frac{1}{8}$时，函数取得最小值为y=4×（$\frac{1}{8}$）²-$\frac{1}{8}$-2=-$\frac{25}{12}$，
即m＜-$\frac{25}{12}$，
故答案为：（-∞，-$\frac{25}{12}$）．

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，利用定义判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．综合考查函数的性质．