Question

（2012•奉贤区二模）平面内一动点P（x，y）到两定点F₁（-1，0），F₂（1，0）的距离之积等于1．
（1）求动点P（x，y）的轨迹C方程，用y²=f（x）形式表示；
（2）类似高二第二学期教材（12.4椭圆的性质、12.6双曲线的性质、12.8抛物线的性质）中研究曲线的方法请你研究轨迹C的性质，请直接写出答案；
（3）求△PF₁F₂周长的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用动点P（x，y）到两定点F₁（-1，0），F₂（1，0）的距离之积等于1，建立方程，化简可得结论；
（2）写出对称性、顶点、x、y范围即可；
（3）表示出△PF₁F₂周长，确定|PF₁|的范围，即可求△PF₁F₂周长的取值范围．

解答：解：（1）∵动点P（x，y）到两定点F₁（-1，0），F₂（1，0）的距离之积等于1
∴|PF₁||PF₂|=1
∴

(x+1)2+y2

×

(x-1)2+y2

=1
化简得y²=

4x2+1

-x2-1．    
（2）性质：
对称性：关于原点对称、关于x轴对称、关于y轴对称                           
顶点：（0，0），（±

2

，0）
x的范围：-

2

≤x≤

2

y的范围：-

1

2

≤y≤

1

2

；                     
（3）△PF₁F₂周长为|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|=|PF₁|+

1

|PF1|

+2
∵|PF₁|=

(x+1)2+y2

=

4x2+1 +2x

（-

2

≤x≤

2

且x≠0）
∴|PF₁|∈(

2

-1，1)∪(1，

2

+1)
∴△PF₁F₂周长的取值范围为（4，2+2

2

）．

点评：本题考查轨迹方程，考查曲线的性质，考查三角形周长的求解，正确表示三角形的周长是关键．