Question

10．已知圆E的方程为（x-2）²+y²=1，直线1的方程为2x-y=0，点P在直线1上．
（1）若点P的坐标为（1，2）．
①过点P作圆E的切线，求切线1的方程；
②过点P作圆E的割线交圆E于C、D两点．当|CD|=$\sqrt{2}$时，求直线CD的方程；
（2）若过点P作圆E的切线PA、PB，切点为A、B，．求证：经过P、A、E、B四点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．

Answer 1

分析 （1）①直线l：x=1是圆E的切线．切线l的斜率存在时，设切线l的方程为：y-2=k（x-1），即kx-y+2-k=0．可得$\frac{|2k-0+2-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得k，即可得出圆的切线方程．
②设割线PCD的方程为：y-2=k（x-1），即kx-y+2-k=0．则圆心到直线的距离d=$\frac{|k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，利用d²+$（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}$=1，解得：k即可得出．
（2）①点P（1，2）时，经过P、A、E、B四点的圆的方程为：（x-1）（x-2）+（y-2）y=0．
②点P（3，6）时，经过P、A、E、B四点的圆的方程为：（x-3）（x-2）+（y-6）y=0．
③设点P（a，2a），经过点P的两条切线的斜率都存在时，经过P、A、E、B四点的圆的方程为：（x-a）（x-2）+（y-2a）y=0．化为：x²+y²-2x-a（x+2y-2）=0，令x+2y-2=0，x²+y²-2x=0．解得即可得出．

解答 （1）解：①直线l：x=1是圆E的切线．
切线l的斜率存在时，设切线l的方程为：y-2=k（x-1），即kx-y+2-k=0．
则$\frac{|2k-0+2-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得k=-$\frac{3}{4}$．
∴切线方程为：y-2=-$\frac{3}{4}$（x-1），化为：3x+4y-11=0．
综上可得切线l的方程为：x=1或3x+4y-11=0．
②设割线PCD的方程为：y-2=k（x-1），即kx-y+2-k=0．
则圆心到直线的距离d=$\frac{|2k-0+2-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{|k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
则d²+$（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}$=1，可得：$\frac{（k+2）^{2}}{{k}^{2}+1}$+$\frac{1}{2}$=1，解得：k=-1或-7．
∴直线CD的方程为：x+y-3=0，或7x+y-9=0．
（2）证明：①点P（1，2）时，经过P、A、E、B四点的圆的方程为：（x-1）（x-2）+（y-2）y=0．
②点P（3，6）时，经过P、A、E、B四点的圆的方程为：（x-3）（x-2）+（y-6）y=0．
③设点P（a，2a），经过点P的两条切线的斜率都存在时，经过P、A、E、B四点的圆的方程为：（x-a）（x-2）+（y-2a）y=0．化为：x²+y²-2x-a（x+2y-2）=0，
令x+2y-2=0，x²+y²-2x=0．解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{5}}\\{y=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$．
代入①②的圆的方程也满足．
∴经过P、A、E、B四点的圆都经过点（2，0），$（\frac{2}{5}，\frac{4}{5}）$．

点评 本题考查了直线与圆相切的性质、相交弦长问题、点到直线的距离公式、圆系方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．