Question

15．求函数y=$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{5-x}$的值域．

Answer 1

分析 本题可以利用$\sqrt{x-1}$与$\sqrt{5-x}$的平方和为定值，采用换元法，将原函数的值域转化为三角函数的值域问题，对三角函数式进行变形化简后，求出三角函数的值域，得到本题结论．

解答 解：∵（$\sqrt{x-1}$）²+（$\sqrt{5-x}$）²=x-1+5-x=4，
∴可设$\sqrt{x-1}$=2cosα，$\sqrt{5-x}$=2sinα，α∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴y=2cosα+2sinα
=2$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosα+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinα）
=2$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）．
∵0≤α≤$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{4}$≤α+$\frac{π}{4}$≤$\frac{3}{4}$π，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sin（α+$\frac{π}{4}$）≤1，
∴2≤2$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）≤2$\sqrt{2}$，
即函数y=$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{5-x}$的值域为[2，2$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查了三角代换法求函数值域，本题也可以利用平方法和基本不等式研究函数值域，本题方法灵活，难度不大，属于中档题．