Question

（2012•湖南）已知函数f（x）=e^x-ax，其中a＞0．
（1）若对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合；
（2）在函数f（x）的图象上取定点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））（x₁＜x₂），记直线AB的斜率为K，证明：存在x₀∈（x₁，x₂），使f′（x₀）=K恒成立．

Answer 1

分析：（1）根据题意，对f（x）求导可得f′（x）=0，令f′（x）=0，解可得x=lna，分x＜lna与x＞lna两种情况讨论可得f（x）取最小值为f（lna）=a-alna，令g（t）=t-tlnt，对其求导可得g′（t）=-lnt，分析可得当t=1时，g（t）取得最大值1，因此当且仅当a=1时，a-alna≥1成立，即可得答案；
（2）根据题意，由直线的斜率公式可得k=

ex2-ex1

x2-x1

-a，令φ（x）=f′（x）-k=e^x-

ex2-ex1

x2-x1

，可以求出φ（x₁）与φ（x₂）的值，令F（t）=e^t-t-1，求导可得F′（t）=e^t-1，
分t＞0与t＜0讨论可得F（t）的最小值为F（0）=0，则当t≠0时，F（t）＞F（0）=0，即e^t-t-1＞0，进而讨论可得φ（x₁）＜0、φ（x₂）＞0，结合函数的连续性分析可得答案．

解答：解：（1）f′（x）=e^x-a，
令f′（x）=0，解可得x=lna；
当x＜lna，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞lna，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
故当x=lna时，f（x）取最小值，f（lna）=a-alna，
对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，当且仅当a-alna≥1，①
令g（t）=t-tlnt，则g′（t）=-lnt，
当0＜t＜1时，g′（t）＞0，g（t）单调递增，当t＞1时，g′（t）＜0，g（t）单调递减，
故当t=1时，g（t）取得最大值，且g（1）=1，
因此当且仅当a=1时，①式成立，
综上所述，a的取值的集合为{1}．
（2）根据题意，k=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=

ex2-ex1

x2-x1

-a，
令φ（x）=f′（x）-k=e^x-

ex2-ex1

x2-x1

，
则φ（x₁）=-

ex1

x2-x1

[ex2-x1-（x₂-x₁）-1]，
φ（x₂）=

ex2

x2-x1

[ex1-x2-（x₁-x₂）-1]，
令F（t）=e^t-t-1，则F′（t）=e^t-1，
当t＜0时，F′（t）＜0，F（t）单调递减；当t＞0时，F′（t）＞0，F（t）单调递增，
则F（t）的最小值为F（0）=0，
故当t≠0时，F（t）＞F（0）=0，即e^t-t-1＞0，
从而ex2-x1-（x₂-x₁）-1＞0，且

ex1

x2-x1

＞0，则φ（x₁）＜0，
ex1-x2-（x₁-x₂）-1＞0，

ex2

x2-x1

＞0，则φ（x₂）＞0，
因为函数y=φ（x）在区间[x₁，x₂]上的图象是连续不断的一条曲线，所以存在x₀∈（x₁，x₂），使φ（x₀）=0，
即f′（x₀）=K成立．

点评：本题考查导数的应用，涉及最大值、最小值的求法以及恒成立问题，是综合题；关键是理解导数的符号与单调性的关系，并能正确求出函数的导数．