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    （2013•浦东新区二模）数列{an}满足an+1=
    4an-2
    an+1
    （n∈N*）．
    ①存在a1可以生成的数列{an}是常数数列；
    ②“数列{an}中存在某一项ak=
    49
    65
    ”是“数列{an}为有穷数列”的充要条件；
    ③若{an}为单调递增数列，则a1的取值范围是（-∞，-1）∪（1，2）；
    ④只要a1≠
    3k-2k+1
    3k-2k
    ，其中k∈N*，则
    lim
    n→∞
    an    一定存在；
    其中正确命题的序号为
    ①④
    ①④
    ．
    分析：根据已知中数列{an}满足an+1=
    4an-2
    an+1
    （n∈N*）．举出正例a1=1或a1=2，可判断①；举出反例a1=
    1
    5
    ，可判断②；举出反例a1=-2，可判断③；构造数列bn=
    an-1
    an-2
    ，结合已知可证得数列{bn}是以
    3
    2
    为公比的等比数列，进而可判断④．
    解答：解：当a1=1时，an=1恒成立，当a1=2时，an=2恒成立，故①正确；
    当a1=
    1
    5
    时，a2=-1，数列{an}为有穷数列，但不存在某一项ak=
    49
    65
    ，故②错误；
    当a1=-2时，a1∈（-∞，-1）∪（1，2），此时a2=10 a3=
    38
    11
    ，数列不存在单调递增性，故③错误；
    ∵an+1=
    4an-2
    an+1

    ∴an+1-1=
    4an-2
    an+1
    -1    =
    3an-3
    an+1
    …①
    且an+1-2=
    4an-2
    an+1
    -2    =
    2an-4
    an+1
    …②
    ①÷②得：
    an+1-1
    an+1-2
    =
    3
    2
    •
    an-1
    an-2

    令bn=
    an-1
    an-2
    ，则数列{bn}是以
    3
    2
    为公比的等比数列
    则bn=(
    3
    2
    )n-1•b1
    ∴an=
    2•(
    3
    2
    )    n-1    •b1+1
    (
    3
    2
    )    n-1    •b1-1
    =2+
    3
    (
    3
    2
    )    n-1    •b1-1

    当a1≠
    3k-2k+1
    3k-2k
    时，2+
    3
    (
    3
    2
    )    n-1    •b1-1
    的极限为2，否则式子无意义，故④正确
    故答案为：①④
    点评：本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了数列的定义及性质，运算强度大，变形复杂，属于难题
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    4
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