Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4．
（1）求证：AB⊥BC₁；
（2）求二面角C₁-AB-C的大小；
（3）在AB上是否存在点D，使得AC₁∥平面CDB₁，若存在，试给出证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据AC，BC，CC₁两两垂直，建立如图以C为坐标原点，建立空间直角坐标系C-xyz，写出要用的点的坐标，根据两个向量的数量级等于0，证出两条线段垂直．
（2）根据所给的两个平面的法向量一个可以直接看出另一个设出根据数量级等于0，求出结果，根据两个平面的法向量所成的角求出两个平面所成的角．
（3）存在点D使AC₁∥平面CDB₁，且D为AB中点，设BC₁与CB₁交于点O，则O为BC₁中点．在△ABC₁中，连接OD，D，O分别为AB，BC₁的中点，故OD为△ABC₁的中位线，根据线线平行得到线面平行．

解答：解∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，
∴AC，BC，CC₁两两垂直．
如图以C为坐标原点，建立空间直角坐标系C-xyz，则C（0，0，0），A（3，0，0），C₁（0，0，4），B（0，4，0），B₁（0，4，4）． …（2分）
（1）∵

AC

=(-3，0，0)，

BC1

=(0，-4，4)，
∴

AC

•

BC1

=0，故AC⊥BC₁…（4分）
（2）平面ABC的一个法向量为

m

=（0，0，1），
设平面C₁AB的一个法向量为

n

=（x₀y₀z₀），

AC1

=(-3，0，4)，

AB

=(-3，4，0)，
由

n • AC1 =0 n • AB =0

，

-3x0+4z0=0 -3x0+4y0=0

…（6分）
令x₀=4，则z₀=3，y₀=3则

n

=（4，3，3）．…（7分）
故cos＜m，n＞=

3

34

=

3

34

34

．所求二面角的大小为  arccos

3

34

34

．…（8分）
（3）存在点D使AC₁∥平面CDB₁，且D为AB中点，下面给出证明．…（9分）
设BC₁与CB₁交于点O，则O为BC₁中点．
在△ABC₁中，连接OD，D，O分别为AB，BC₁的中点，故OD为△ABC₁的中位线，…（10分）
∴OD∥AC₁，又AC₁?平面CDB₁，OD?平面CDB₁，∴AC₁∥平面CDB₁．  …（12分）
故存在点D为AB中点，使AC₁∥平面CDB₁．

点评：本题考查直线与平面平行的判断，本题的关键是在平面上找出与直线平行的直线，根据有中点找中点的方法来解答．