Question

10．求下列函数的值域f（x）=$\frac{（1+{x}^{2}）^{2}}{（1+2{x}^{2}）（{x}^{2}+2）}$．

Answer 1

分析 换元可得原式=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1-t}{{t}^{2}+3t}$），m≤0，由基本不等式和不等式的性质分类讨论综合可得．

解答 解：令1+2x²=t，则t≥1，且x²=$\frac{1}{2}$（t-1）
换元可得y=$\frac{\frac{（t+1）^{2}}{4}}{t（\frac{t+3}{2}）}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{{t}^{2}+2t+1}{{t}^{2}+3t}$
=$\frac{1}{2}$•$\frac{{t}^{2}+3t-t+1}{{t}^{2}+3t}$=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1-t}{{t}^{2}+3t}$），
再令1-t=m则m≤0且t=1-m，
当m=0时，$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1-t}{{t}^{2}+3t}$）=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{m}{{m}^{2}-5m+4}$）=$\frac{1}{2}$；
当m≤0时，$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1-t}{{t}^{2}+3t}$）=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{m}{{m}^{2}-5m+4}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{m+\frac{4}{m}-5}$），
∵m＜0，∴m+$\frac{4}{m}$=-（-m+$\frac{4}{-m}$）≤-2$\sqrt{-m•\frac{4}{-m}}$=-4，
当且仅当-m=$\frac{4}{-m}$即m=-2时取等号，
∴m+$\frac{4}{m}$-5≤=-4-5=-9，
∴-$\frac{1}{9}$≤$\frac{1}{m+\frac{4}{m}-5}$）＜0，
∴$\frac{8}{9}$≤1+$\frac{1}{m+\frac{4}{m}-5}$＜1，
∴$\frac{4}{9}$≤$\frac{1}{2}$（1+$\frac{25}{m+\frac{16}{m}-17}$）＜$\frac{1}{2}$；
综合可得函数的值为[$\frac{4}{9}$，$\frac{1}{2}$]

点评 本题考查函数值域的求解，涉及换元法和基本不等式求最值以及不等式的性质，属中档题．