Question

18．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E，F分别在A₁D，AC上，且EF⊥A₁D，EF⊥AC．求证：EF∥BD₁．

Answer 1

分析 连结A₁C₁，由已知条件推导出EF⊥平面A₁C₁D，BD₁⊥平面A₁C₁D，由此利用线面垂直的性质能证明EF∥BD₁．

解答 证明：连结A₁C₁，由于AC∥A₁C₁，EF⊥AC，
∴EF⊥A₁C1，
又EF⊥A₁D，A₁D∩A₁C₁=A₁，
∴EF⊥平面A₁C₁D，①
∵BB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，A₁C₁?平面A₁B₁C₁D₁，
∴BB₁⊥A₁C₁，
又A₁B₁C₁D₁为正方体，
∴A₁C₁⊥B₁D₁，
∵BB₁∩B₁D₁=B₁，
∴A₁C₁⊥平面BB₁D₁D，
而BD₁?平面BB₁D₁D，
∴BD₁⊥A₁C₁，
同理，DC₁⊥BD₁，DC₁∩A₁C₁=C₁，
∴BD₁⊥平面A₁C₁D，②
由①②，得EF∥BD₁．

点评 本题考查两条直线平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．