Question

【题目】已知函数f（x）=1﹣ （a＞0且a≠1）是定义在R上的奇函数．
（1）求a的值；
（2）求f（x）的值域；
（3）若关于x的方程|f（x）（2x+1）|=m有1个实根，求实数m的取值范围；
（4）当x∈（0，1]时，tf（x）≥2x﹣2恒成立，求实数t取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）=1﹣ （a＞0且a≠1）是定义在R上的奇函数，

∴f（﹣x）=﹣f（x），解得：a=2

（2）解： ，

∴y∈（﹣1，1）

（3）解：设h（x）=|2x﹣1|，g（x）=m，

作图，如图示：

如图当m≥1时，h（x）=|2x﹣1|与g（x）=m有一个交点，

所以|f（x）（2x+1）|=m有一个实根，

所以m∈[1，+∞）∪{0}

（4）解： （2x）2﹣（t+1）2x+t﹣2≤0，

令2x=u，x∈（0，1]u∈（1，2]，

u∈（1，2]时，u2﹣（t+1）u+t﹣2≤0恒成立，

则

【解析】（1）根据函数的奇偶性得到f（﹣x）=﹣f（x），求出a的值即可；（2）将f（x）变形，解关于y的不等式，求出f（x）的值域即可；（3）结合图象求出m的范围即可；（4）令2x=u，x∈（0，1]u∈（1，2]，得到u∈（1，2]时，u2﹣（t+1）u+t﹣2≤0恒成立，求出t的范围即可．