Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，前n项和s_n满足s_n+1-s_n=2n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式及前n项和s_n；
（Ⅱ）若S₁、t（S₃+S₄）（t＞0）的等差中项不大于它们的等比中项，求t的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2（n-1）+1=2n-1
因为a₁=1也满足上式，所以数列{a_n}的通项公式：a_n=2n-1（n∈N^*）
又因为a_n+1-a_n=2（n+1）-1-（2n-1）=2为定值，所以{a_n}为等差数列
所以数列{a_n}前n项和：（n∈N^*）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 S₁=1，t（S₃+S₄）=25t
又由题意，得
整理，得，所以，则．
分析：（Ⅰ）分析题意可知是由s_n求a_n故需利用a_n与s_n的关系：当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1来求解同时需验证a₁=1是否也满足上式．当a_n求出后分析它的特征然后决定采用什么方法求前n项和．
（Ⅱ）可由（1）求出S₁，t（S₃+S₄）然后利用S₁、t（S₃+S₄）（t＞0）的等差中项不大于它们的等比中项列出关于t 的关系式再求解即可．
点评：本题主要考查了利用数列前n项和s_n的递推关系式求数列的通项．解题的关键是要利用a_n与s_n的关系：当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1求a_n同时需验证a₁=1是否也符合而求出a_n后下面的问题就迎刃而解了．本题容易遗漏的是对n=1时a₁=1是否也符合的验证！