Question

设p＞1，0≤x≤1，求函数f(x)=x^p+(1-x)^p的值域．

 

Answer 1

答案：
解析：

易知f(x)在[0，1]连续可导，函数f(x)在[0，1]上一定存在最大值与最小值，这样，求函数f(x)的值域，可转化为求最值． 　　f′(x)=pxp-1-p(1-x)p-1 　　　　=p[xp-1-p(1-x)p-1] 　　令f′(x)=0，则得xp-1=(1-x)p-1 　　即x=1-x，x= 　　 　　f(0)=f(1)=1 　　又p＞1，∴　f(x)的值域为[，1]

提示：

对于闭区间[a，b]上的连续函数，如果在相应开区间(a，b)内可导，求[a，b]上的最值可简化过程，即直接将可疑点的函数值与端点的函数值比较即可断定最大的函数值就是最大值，最小的函数值就是最小值，这样可以省去判别极值的手续，达到又快捷又简便的目的