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    已知椭圆
    y2
    a2
    +
    x2
    b2
    =1    的一个焦点为F(0，2
    		2
    )    ，与两坐标轴正半轴分别交于A，B两点（如图），向量
    AB
    与向量
    m
    =(-1，
    		2
    )    共线．
    （1）求椭圆的方程；
    （2）若斜率为k的直线过点C（0，2），且与椭圆交于P，Q两点，求△POC与△QOC面积之比的取值范围．
    分析：（1）利用向量共线，确定a，b的关系，结合椭圆的焦点坐标，即可求得椭圆的方程；
    （2）直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理，即可求得比值的范围．
    解答：解：（1）由向量
    AB
    与向量
    m
    =(-1，
    		2
    )    共线，可得
    a
    b
    =
    		2

    ∵焦点为F(0，2
    		2
    )    ，∴a2-b2=8，∴b2=8，a2=16
    ∴椭圆的方程为
    y2
    16
    +
    x2
    8
    =1    ；
    （2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），且x1＜0，x2＞0，
    PQ的方程为y=kx+2，代入椭圆方程消去y，可得（2+k2）x2+4kx-12=0
    ∴x1+x2=-
    4k
    2+k2
    ①，x1x2=-
    12
    2+k2
    ②
    设△POC与△QOC面积之比为λ，即-
    x2
    x1
    =λ
    结合①②得（1-λ）x1=-
    4k
    2+k2
    ，λx12=-
    12
    2+k2

    ∴
    λ
    (1-λ)2
    =
    3
    4
    (1+
    2
    k2
    )    ＞
    3
    4

    ∴
    1
    3
    ＜λ＜3
    ∴△POC与△QOC面积之比的取值范围为
    1
    3
    ＜λ＜3    ．
    点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，正确运用韦达定理是关键．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    平面直角坐标系xOy中，已知⊙M经过点F1（0，-c），F2（0，c），A（
    		3
    c，0）三点，其中c＞0．
    （1）求⊙M的标准方程（用含c的式子表示）；
    （2）已知椭圆
    y2
    a2
    +
    x2
    b2
    =1(a＞b＞0)    （其中a2-b2=c2）的左、右顶点分别为D、B，⊙M与x轴的两个交点分别为A、C，且A点在B点右侧，C点在D点右侧．
    ①求椭圆离心率的取值范围；
    ②若A、B、M、O、C、D（O为坐标原点）依次均匀分布在x轴上，问直线MF1与直线DF2的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在平面直角坐标系xOy中，已知⊙M经过点F1（0，-c），F2（0，c），A（
    		3
    c，0）三点，其中c＞0．
    （1）求⊙M的标准方程（用含c的式子表示）；
    （2）已知椭圆
    y2
    a2
    +
    x2
    b2
    =1（a＞b＞0）（其中a2-b2=c2）的左、右顶点分别为D、B，⊙M与x轴的两个交点分别为A、C，且A点在B点右侧，C点在D点右侧，求椭圆离心率的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆
    y2
    a2
    +
    x2
    b2
    =1 (a＞b＞0)    的离心率e满足3， 
    1
    e
    ， 
    4
    9
    成等比数列，且椭圆上的点到焦点的最短距离为2-
    		3
    ．过点（2，0）作直线l交椭圆于点A，B．
    （1）若AB的中点C在y=4x（x≠0）上，求直线l的方程；
    （2）设椭圆中心为，问是否存在直线l，使得的面积满足2S△AOB=|OA|•|OB|？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆
    y2
    a2
    +
    x2
    b2
    =1（a＞b＞0）的上下焦点分别为F1，F1，短轴两个端点为P，P1，且四边形F1PF2P1是边长为2的正方形．
    （1）求椭圆方程；
    （2）设△ABC，AC=2
    		3
    ，B为椭圆
    y2
    a2
    +
    x2
    b2
    =1（a＞b＞0）在x轴上方的顶点，当AC在直线y=-1上运动时，求△ABC外接圆的圆心Q的轨迹E的方程；
    （3）过点F（0，
    3
    2
    ）作互相垂直的直线l1l2，分别交轨迹E于M，N和R，Q．求四边形MRNQ的面积的最小值．

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    科目：高中数学 来源：南通模拟 题型：解答题

    平面直角坐标系xOy中，已知⊙M经过点F1（0，-c），F2（0，c），A（
    		3
    c，0）三点，其中c＞0．
    （1）求⊙M的标准方程（用含c的式子表示）；
    （2）已知椭圆
    y2
    a2
    +
    x2
    b2
    =1(a＞b＞0)    （其中a2-b2=c2）的左、右顶点分别为D、B，⊙M与x轴的两个交点分别为A、C，且A点在B点右侧，C点在D点右侧．
    ①求椭圆离心率的取值范围；
    ②若A、B、M、O、C、D（O为坐标原点）依次均匀分布在x轴上，问直线MF1与直线DF2的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由．

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