Question

【题目】已知椭圆的焦距为，设右焦点为，过原点的直线与椭圆交于两点，线段的中点为，线段的中点为，且.

（1）求弦的长；

（2）当直线的斜率，且直线时， 交椭圆于，若点在第一象限，求证：直线与轴围成一个等腰三角形.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】试题分析：（1）关键求点A坐标关系：设，则根据条件表示， ，再根据向量数量积得，即得的长为.（2）证直线与轴围成一个等腰三角形，就是证直线的斜率相反.先确定A点坐标，并求出椭圆方程，再设与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理可得两点横坐标和与积的关系，代入直线的斜率公式，并化简可证它们为相反关系.

试题解析：（1）因为椭圆： 的焦距为，则，

设，则， ， ，

，则，所以的长为.

（2）因为直线的斜率时，且直线，所以，设， ，

∴由（1）知， ，所以，又半焦距为，所以椭圆，联解：

得，设，则， ，

设直线的斜率分别为，则， ，那么

，

所以直线与轴围成一个等腰三角形.