Question

【题目】已知在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，M，N分别是BC，AE，D1C的中点，AD=AA1 ， AB=2AD． （Ⅰ）证明：MN∥平面ADD1A1；
（Ⅱ）求直线AD与平面DMN所成角θ的正弦值．

Answer 1

【答案】解：（I）以D为原点，以DA，DC，DD1为坐标轴建立空间直角坐标系D﹣xyz， 设AD=1，则A（1，0，0），B（1，2，0），E（ ，2，0），
C（0，2，0），D1（0，0，1），
∵M，N分别是AE，CD1的中点，∴M（ ，1，0），N（0，1， ），
∴ =（﹣ ，0， ）， =（0，2，0）．
∵AB⊥平面ADD1A1 ， ∴ 是平面ADD1A1的一个法向量，
∵ =0，MN平面ADD1A1 ，
∴MN∥平面ADD1A1 ．
（II） =（ ，1，0）， =（1，0，0），设平面DMN的法向量为 =（x，y，z），
则 ，即 ，令z=1得 =（ ，﹣ ，1），
∴ = ，
∴cos＜ ＞= = ．
∴sinθ= ．

【解析】（I）建立空间直角坐标系，设AD=1，求出 和平面ADD1A1的法向量 的坐标，直线利用数量积证明AB⊥MN即可；（II）求出平面DMN的法向量 和 的坐标，则sinθ=|cos＜ ＞|．
【考点精析】利用直线与平面平行的判定和空间角的异面直线所成的角对题目进行判断即可得到答案，需要熟知平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．