Question

已知数列{a_n}中，a₁=0，a_n+1=a_n+2n-1（n∈N^*）．求数列{a_n}的通项公式a_n．

Answer 1

解：法一：（累加法）
∵a_n+1=a_n+2n-1，
∴a_n-a_n-1=2（n-1）-1，
a_n-1-a_n-2=2（n-2）-1，
a₃-a₂=2×2-1，
a₂-a₁=2×1-1．
以上各式左右两边分别相加得
a_n-a₁=2[1+2+3+…+（n-1）]-（n-1）
=n（n-1）-（n-1）=（n-1）²．
∴a_n=（n-1）²．
法二：（迭代法）
∵a_n+1=a_n+2n-1，
∴a_n=a_n-a_n-1+a_n-1
=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+a_n-2
=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₃-a₂）+（a₂-a₁）+a₁
=2（n-1）-1+2（n-2）-1++2×2-1+2×1-1+0
=（n-1）²．
分析：（法一）a_n+1-a_n=2n-1可得a_n-a_n-1=2n-3，…a₂-a₁=1利用累加法可求a_n．
（法二）a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁，由已知可得a_n-a_n-1=2n-3，代入可求．
点评：本题主要考查了由递推关系求数列的通项公式，当a_n-a_n-1=f（n）时，求通项常用累加法或迭代法．属于基础题目．