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某人花费200万元购买了一辆大客车,用于长途客运,预计这辆车每年收入约100万元,车运营的花费P(万元)与运营年数x(x∈N*)的关系为p=8x(1+x).
(1)写出这辆车运营的总利润y(万元)与运营年数x(x∈N*)的函数关系式;
(2)这辆车运营多少年,可使年平均运营利润w最大?最大为多少?
分析:(1)由题意可得:这辆车x年总收入为100x万元,总支出为200+8x(1+x)(万元).用总收入减去总支出即可得到总利润;
(2)年平均利润为w=
y
x
=
4(-2x2+23x-50)
x
=4[23-2(x+
25
x
)]
.利用基本不等式即可得出.
解答:解:(1)依题意,这辆车x年总收入为100x万元,
总支出为200+8x(1+x)(万元).
∴y=100x-[200+8x(1+x)]=-8x2+92x-200=4(-2x2+23x-50).
(2)年平均利润为w=
y
x
=
4(-2x2+23x-50)
x
=4[23-2(x+
25
x
)]

又x∈N*,∴x+
25
x
≥2 
x•
25
x
=10,
当且仅当x=5时,等号成立,此时w≤4×(23-20)=12.
∴这辆车运营5年,可使年平均运营利润w最大为12万元.
答:(1)这辆车运营的总利润y(万元)与运营年数x(x∈N*)的函数关系式是y=-8x2+92x-200.;
(2)这辆车运营5年,可使年平均运营利润w最大,最大为12万元.
点评:本题考查了“总利润=总收入-总支出”的关系、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法,属于中档题.
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