Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是菱形，SA⊥底面ABCD，M为SA的中点，N为CD的中点．
（Ⅰ）证明：平面SBD⊥平面SAC；
（Ⅱ）证明：直线MN∥平面SBC．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证明平面SBD⊥平面SAC，只需证明平面SBD内的直线BD，垂直平面SAC内的两条相交直线SA与AC即可；
（Ⅱ）取SB中点E，连接ME，CE，要证明直线MN∥平面SBC，只需证明直线MN平行平面SBC内的直线CE即可．

解答：证明：（Ⅰ）∵ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，（1分）
∵SA⊥底面ABCD，∴BD⊥SA，（2分）
∵SA与AC交于A，
∴BD⊥平面SAC，（4分）
∵BD?平面SBD
∴平面SBD⊥平面SAC（6分）

（Ⅱ）取SB中点E，连接ME，CE，
∵M为SA中点，∴ME∥AB且ME=

1

2

AB，（8分）
又∵ABCD是菱形，N为CD的中点，
∴CN∥AB且CN=

1

2

CD=

1

2

AB，（10分）
∴CN∥EM，且CN=EM，
∴四边形CNME是平行四边形，
∴MN∥CE，（12分）
又MN?平面SBC，CE?平面SBC，
∴直线直线MN∥平面SBC（13分）

点评：本题考查平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查空间想象能力 逻辑思维能力，是中档题．