Question

已知点D（0，-2），过点D作抛物线C₁：x²=2py（p＞0）的切线l，切点A在第二象限，如图
（Ⅰ）求切点A的纵坐标；
（Ⅱ）若离心率为

3

2

的椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)恰好经过切点A，设切线l交椭圆的另一点为B，记切线l，OA，OB的斜率分别为k，k₁，k₂，若k₁+2k₂=4k，求椭圆方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设切点A（x₀，y₀），且y0=

x02

2p

，由切线l的斜率为k=

x0

p

，得l的方程为y=

x0

p

x-

x02

2p

，再由点D（0，-2）在l上，能求出点A的纵坐标．
（Ⅱ）由得A(-2

p

，2)，切线斜率k=-

2

p

，设B（x₁，y₁），切线方程为y=kx-2，由e=

3

2

，得a²=4b²，所以椭圆方程为

x2

4b2

+

y2

b2

=1，b²=p+4，由

y=kx-2 x2+4y2=4b2

⇒(1+4k2)x2-16kx+16-4b2=0，由此能求出椭圆方程．

解答：解：（Ⅰ）设切点A（x₀，y₀），且y0=

x02

2p

，
由切线l的斜率为k=

x0

p

，得l的方程为y=

x0

p

x-

x02

2p

，又点D（0，-2）在l上，
∴

x02

2p

=2，即点A的纵坐标y₀=2．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ） 得A(-2

p

，2)，切线斜率k=-

2

p

，
设B（x₁，y₁），切线方程为y=kx-2，由e=

3

2

，得a²=4b²，…（7分）
所以椭圆方程为

x2

4b2

+

y2

b2

=1，且过A(-2

p

，2)，∴b²=p+4…（9分）
由

y=kx-2 x2+4y2=4b2

⇒(1+4k2)x2-16kx+16-4b2=0，∴

x0+x1= 16k 1+4k2 x0x1= 16-4b2 1+4k2

，…（11分）k1+2k2=

y0

x0

+

2y1

x1

=

x1y0+2x0y1

x0x1

=

x1(kx0-2)+2x0(kx1-2)

x0x1

=3k-

2x1+4x0

x0x1

=3k-

2(x1+x0)+2x0

x0x1

=3k-

32k 1+4k2 -4 p

16-4b2 1+4k2

=3k-

32k-4 p (1+4k2)

16-4b2

=4k
将k=-

2

p

，b²=p+4代入得：p=32，所以b²=36，a²=144，
椭圆方程为

x2

144

+

y2

36

=1．…（15分）

点评：本题考查切点的纵坐标和椭圆方程的求法，解题时要认真审题，注意椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．