Question

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f′′（x）是f′（x）的导数，若方程f′′（x）有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数f（x）

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

，请你根据这一发现，计算f（

1

2015

）+f（

2

2015

）+f（

3

2015

）+…+f（

2014

2015

）=

 

．

Answer 1

考点：类比推理

专题：计算题,推理和证明

分析：由题意可推出（

1

2

，1）为f（x）的对称中心，从而可得f（

1

2015

）+f（

2014

2015

）=2f（

1

2

）=2，从而求f（

1

2015

）+f（

2

2015

）+f（

3

2015

）+…+f（

2014

2015

）=2014的值．

解答： 解：f′（x）=x²-x+3，
由f′′（x）=2x-1=0得x₀=

1

2

，
f（x₀）=1，
则（

1

2

，1）为f（x）的对称中心，由于

1

2015

+

2014

2015

=1，
则f（

1

2015

）+f（

2014

2015

）=2f（

1

2

）=2，
则f（

1

2015

）+f（

2

2015

）+f（

3

2015

）+…+f（

2014

2015

）=2014．
故答案为：2014．

点评：本题考查了类比推理的应用，属于基础题．