Question

已知数列{a_n}，S_n为其前n项的和，S_n=n-a_n+9，n∈N^*
（1）证明数列{a_n}不是等比数列；
（2）令b_n=a_n-1，求数列{b_n}的通项公式b_n；
（3）已知用数列{b_n}可以构造新数列．例如：{3b_n}，{2b_n+1}，{

b

2 n

}，{

1

bn

}{2bn}，{sinb_n}…请写出用数列{b_n}构造出的新数列{p_n}的通项公式，使数列{p_n}满足①②两个条件，并说明理由
①数列{p_n}为等差数列；
②数列{p_n}的前n项和有最大值．

Answer 1

分析：（1）利用S_n=n-a_n+9，计算前三项，即可得到结论；
（2）再写一式，两式相减，可得数列{b_n}为首项为4，公比为

1

2

的等比数列，从而可求数列{b_n}的通项公式b_n；
（3）利用对数函数的性质，构造数列即可．

解答：（1）证明：n=1时，S₁=1-a₁+9，∴a₁=5-------------------------------------（1分）
n=2时，S₂=2-a₂+9，∴a₂=3-------------------------------------------------------------------------（2分）
n=3时，S₃=3-a₃+9，∴a₃=2------------------------------------------------------------------------（3分）
∵3²≠5×2，∴数列{a_n}不是等比数列--------------------------（4分）
（2）解：∵S_n=n-a_n+9①，∴n≥2时，S_n-1=n-1-a_n-1+9②，
①-②得a_n=1-a_n+a_n-1，即2a_n=1+a_n-1，-----------------------------------（6分）
∴2（a_n-1）=a_n-1-1-----------------------------------（8分）
∵b_n=a_n-1，∴2b_n=b_n-1，
∴数列{b_n}为首项为4，公比为

1

2

的等比数列--------------------------------------------（9分）
∴b_n=4•(

1

2

)n-1--------------------------（10分）
（3）解：p_n=log_ab_n，a＞1----------------------------------------（13分）
n≥2时，p_n-p_n-1=log_ab_n-log_ab_n-1=loga

bn

bn-1

=loga

1

2

为常数
∴①数列{p_n}为等差数列----------------------------------------------（14分）
∵a＞1，∴d=loga

1

2

＜0，∴②数列{p_n}的前n项和有最大值．--------------------（16分）

点评：本题考查等比数列的判定，考查数列的通项，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．