Question

已知曲线C：y=x³及其上一点P₁（1，1），过P₁作C的切线l₁，l₁与C的另一公共点为P₂（不同于P₁），过P₂作C的切线l₂，l₂与C的另一公共点为P₃（不同于P₂），…，得到C的一列切线l₁，l₂，…，l_n，…，相应的切点分别为P₁，P₂，…，P_n，…．
（1）求P_n的坐标；
（2）设l_n到l_n+1的角为θ_n，求

lim

n→∞

tanθn之值．

Answer 1

分析：（1）欲求求P_n的坐标，关键是求在点P_n处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=P_n处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（2）欲求

lim

n→∞

tanθn之值，先利用到角公式将tanθ_n表示出来，最后对分式的分子分母同除以同一个式子即可求得极限值．

解答：解：（1）设P_n（a_n，a_n³），过P_n作C的切线．
C在P_n处的切线l_n的方程为：y=3a_n²（x-a_n）+a_n³，代入y=x³，
并整理得（x-a_n）²（x+2a_n）=0．
即x=a_n（舍去）或x=-2a_n．
由题意a₁=1，a_n+1=-2a，从而a_n=（-2）^n-1，（n∈N*）
即P_n（（-2）^n-1，（-2）^3（n-1））；
（2）l_n的斜率k_n=3a_n²=3•（-2）^2（n-1）=3•4^n-1．
l_n+1的斜率k_n+1=3•4ⁿ．
tanθn=

kn+1-kn

1+kn+1•kn

=

3•4n-3•4n-1

1+32•4n•4n-1

．

lim

n→∞

tanθn=

lim

n→∞

3 4n - 3 4 • 1 4n

1 42n + 9 4

=0．

点评：本小题主要考查数列的极限、直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．