Question

已知：△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c且cos(

π

2

-A)cosB+sinBsin(

π

2

+A)=sin(π-2C)．
（1）求角C的大小；
（2）若sinA，sinC，sinB成等差数列，且

CA

•

CB

=18，求c边的长．

Answer 1

分析：（1）利用两角和公式和诱导公式整理题设等式求得sin（A+B）=sin2C，进而整理求得cosC的值，进而求得C．
（2）利用sinA，sinC，sinB成等差数列求得三者的关系式，利用正弦定理转化成边的关系式，利用

CA

•

CB

求得ab的值，进而分别代入余弦定理求得c．

解答：解：（1）由cos（

π

2

-A）•cosB+sinB•sin（

π

2

+A）=sin（π-2C）得sinA•cosB+sinB•cosA=sin2C
∴sin（A+B）=sin2C，
∵A+B=π-C，∴sin（A+B）sinC
∴sinC=sin2C=2sinCcosC，
∵0＜C＜π∴sinC＞0∴cosC=

1

2

∴C=

π

3

（2）由sinA，sinC，sinB成等差数列，得2sinC=sinA+sinB，
由正弦定理得2c=a+b
∵

CA

•

CB

=18，即abcosC=18，ab=36
由余弦弦定理c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-3ab，
∴c²=4c²-3×36，c²=36，
∴c=6

点评：本题主要考查了解三角形问题，三角函数恒等变换及化简求值．考查了考生分析问题的能力和基本的运算能力．