Question

1．如果实数x，y 满足条件$\left\{\begin{array}{l}x+3y-3≤0\\ x≥0\\ y≥0\end{array}\right.$，那么$z=\frac{x+y-6}{x-4}$的取值范围是[$\frac{5}{4}，3$]．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，$z=\frac{x+y-6}{x-4}$=$1+\frac{y-2}{x-4}$，其几何意义为可行域内的动点与定点M（4，2）连线的斜率加1．求出MA，MB所在直线的斜率得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}x+3y-3≤0\\ x≥0\\ y≥0\end{array}\right.$作出可行域如图，

A（3，0），B（0，1），
$z=\frac{x+y-6}{x-4}$=$1+\frac{y-2}{x-4}$，其几何意义为可行域内的动点与定点M（4，2）连线的斜率加1．
∵${k}_{MA}=\frac{2-0}{4-3}=2，{k}_{MB}=\frac{2-1}{4-0}=\frac{1}{4}$，
∴$z=\frac{x+y-6}{x-4}$的取值范围是[$\frac{5}{4}，3$]．
故答案为：[$\frac{5}{4}，3$]．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．