Question

【题目】已知椭圆C1：(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴重直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|．

（1）求C1的离心率；

（2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）：，： .

【解析】

（1）根据题意求出的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设在第一象限，运用代入法求出点的纵坐标，根据，结合椭圆离心率的公式进行求解即可；

（2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可；

解：（1）因为椭圆的右焦点坐标为：,所以抛物线的方程为，其中.

不妨设在第一象限，因为椭圆的方程为：，

所以当时，有，因此的纵坐标分别为，；

又因为抛物线的方程为，所以当时，有，

所以的纵坐标分别为，，故，.

由得，即，解得（舍去），.

所以的离心率为.

（2）由（1）知，，故，所以的四个顶点坐标分别为，，，，的准线为.

由已知得，即.

所以的标准方程为，的标准方程为.