Question

设f（x）=x²-2ax+2，（a∈R）
（1）当x∈R时，f（x）≥a恒成立，求a的范围；
（2）当x∈[-1，+∞）时，f（x）≥a恒成立，求a的范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得，x²-2ax+2-a≥0在x∈R时恒成立，根据二次函数的性质可知△=4a²-4（2-a）≤0，解不等式可求
（2）由x∈[-1，+∞）时，f（x）=x²-2ax+2≥a恒成立可知f（x）_min≤a，结合函数f（x）的单调性可求f（x）的最小值可求

解答：解：（1）∵f（x）=x²-2ax+2≥a恒成立
∴x²-2ax+2-a≥0在x∈R时恒成立
∴△=4a²-4（2-a）≤0
解得-2≤a≤1
（2）∵x∈[-1，+∞）时，f（x）=x²-2ax+2≥a恒成立
∴x²-2ax+2≥a在x∈[-1，+∞）时恒成立
∴f（x）_min≤a
∵f，（x）=2x-2a
①a≤-1时，f，（x）=2x-2a≥0
∴f（x）在[-1，+∞）上单调递增，f（x）_min=f（-1）=2a+3≥a
∴-3≤a≤-1
②a＞-1时，f（x）在[-1，a）上单调递减，在[a，+∞）上单调递增，f（x）_min=f（a）=2-a²≥a
解可得，-2≤a≤1
∴-1＜a≤1
综上可得，-3≤a≤1

点评：本题主要考查了函数恒成立问题，此类问题常构造函数，转化为求解函数的最值问题：a＞f（x）（或a＜f（x））恒成立?a＞f（x）_max（或a＜f（x）_min），体现了转化思想在解题中的应用．