Question

5．证明函数f（x）=$\frac{2-x}{x+2}$在（-2，+∞）上是减函数．

Answer 1

分析 先分离常数，将原函数变成f（x）=-1+$\frac{4}{x+2}$，然后根据单调性的定义，设x₁＞x₂＞-2，然后作差证明f（x₁）＜f（x₂）即可．

解答 证明：f（x）=$\frac{2-x}{x+2}=\frac{-（x+2）+4}{x+2}=-1+\frac{4}{x+2}$；
设x₁＞x₂＞-2，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{4}{{x}_{1}+2}-\frac{4}{{x}_{2}+2}$=$\frac{4（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{x}_{1}+2）（{x}_{2}+2）}$；
∵x₁＞x₂＞-2；
∴x₂-x₁＜0，x₁+2＞0，x₂+2＞0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（-2，+∞）上是减函数．

点评 考查函数单调性的定义，根据减函数定义证明一个函数为减函数的方法和过程，作差比较f（x₁），f（x₂）的方法，分离常数法的运用．