Question

观察下图：
1
2  3  4
3  4  5  6  7
4  5  6  7  8  9  10
…
则第

1006

行的各数之和等于2011²．

Answer 1

分析：由已知，得出第n行的第一个数是n，该行共有2n-1个数字，且构成以1为公差的等差数列，根据等差数列前n项和公式，得出关于n的方程求出行数n即可．

解答：解：此图各行的数字排布规律是：第n行的第一个数是n，该行共有2n-1个数字，且构成以1为公差的等差数列．
所以第n行的各数之和为（2n-1）•n+

(2n-1)(2n-2)

2

=4n²-4n+1，
由4n²-4n+1=2011²，得 4n（n-1）=2011²-1²=2012×2010=（2×1006）×（2×1005）=4×1006×1005
n=1006，
故答案为：1006．

点评：本题考查等差数列前n项和公式的应用，得出图中各行数的排布规律是关键．考查抽象概括、计算能力．本题解关于n的方程时，对因式进行分解、对应．