Question

20．在等比数列{a_n}中，公比q≠1，等差数列{b_n}满足b₁=a₁=3，b₄=a₂，b₁₃=a₃
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=（-1）ⁿb_n+a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）通过b₁=a₁=3可知b₄=a₂=3q、b₁₃=a₃=3q²，利用数列{b_n}为等差数列计算可知q=3，进而计算可得结论；
（2）通过（1）可知c_n=（-1）ⁿ（2n+1）+（2n+1）3ⁿ，通过与分组求和，和错位相加法和分n为奇数、偶数两种情况讨论即可．

解答 解∴（1）设等差数列{b_n}的公差为d，由已知得：
a₂=3q，a₃=3q²，b₄=3+3d，b₁₃=3+12d．
即$\left\{\begin{array}{l}{3q=3+3d}\\{3{q}^{2}=3+12d}\end{array}\right.$，
解得d=2，q=3，
∴a_n=3ⁿ，b_n=2n+1．
（2）由（1）可知c_n=（-1）ⁿb_n+a_nb_n=（-1）ⁿ（2n+1）+（2n+1）3ⁿ，
设{a_nb_n}的前n项和为R_n，
则R_n=3×3+5×3²+…（2n+1）3ⁿ，
∴3R_n=3×3²+5×3³+…+（2n-1）×3ⁿ+（2n+1）×3ⁿ⁺¹，
∴-2R_n=3×3+2×3²+2×3³+…+2×3ⁿ-（2n+1）×3ⁿ⁺¹
=3+2（3+3²+…3ⁿ）-（2n+1）3ⁿ⁺¹=3+2×$\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$-（2n+1）×3ⁿ⁺¹=-2n×3ⁿ⁺¹
∴R_n=n×3ⁿ⁺¹，
设{（-1）ⁿb_n}的前n项和为T_n，
∴T_n=（-3+5）+（-7+9）+…+（-1）^n-1（2n-1），
当n为偶数时，T_n=n，
当n为奇数时，T_n=-n-2
综上所述S_n=$\left\{\begin{array}{l}{n+n×{3}^{n+1}，n为偶数}\\{-n-2+n×{3}^{n+1}，n为奇数}\end{array}\right.$

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．