Question

已知椭圆C的方程为，点A、B分别为其左、右顶点，点F₁、F₂分别为其左、右焦点，以点A为圆心，AF₁为半径作圆A；以点B为圆心，OB为半径作圆B；若直线被圆A和圆B截得的弦长之比为；
（1）求椭圆C的离心率；
（2）己知a=7，问是否存在点P，使得过P点有无数条直线被圆A和圆B截得的弦长之比为；若存在，请求出所有的P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据直线l的斜率可知直线l的倾斜角，进而可求得点A到直线l的距离，进而表示出直线l被圆A截得的弦长和被圆B截得的弦长，利用弦长之比为，求得a和c的关系，进而求得e．
（2）假设存在，设P点坐标为（m，n），过P点的直线为L，当直线L的斜率不存在时，直线L不能被两圆同时所截，故可知直线L的斜率一定存在，进而可设直线方程，求得点A（-7，0）到直线L的距离，根据（1）的离心率求得圆A的半径，同样可求得圆B的半径，则可求得直线L被两圆截得的弦长，根据他们的比为建立等式，整理成关于k的一元二次方程，方程有无穷多解，进而求得m和n，则点P的坐标可得．
解答：解：（1）由，得直线l的倾斜角为150°，
则点A到直线l的距离，
故直线l被圆A截得的弦长为，
直线l被圆B截得的弦长为，
据题意有：，即
化简得：16e²-32e+7=0，
解得：或，又椭圆的离心率e∈（0，1）；
故椭圆C的离心率为．

（2）假设存在，设P点坐标为（m，n），过P点的直线为L；
当直线L的斜率不存在时，直线L不能被两圆同时所截；
故可设直线L的方程为y-n=k（x-m），
则点A（-7，0）到直线L的距离，
由（1）有，得=，
故直线L被圆A截得的弦长为，
则点B（7，0）到直线L的距离，r_B=7，
故直线L被圆B截得的弦长为，
据题意有：，即有16（r_A²-D₁²）=9（r_B²-D₂²），整理得4D₁=3D₂，
即=，
两边平方整理成关于k的一元二次方程得（7m²+350m+343）k²-（350m+14mn）k+7n²=0，
关于k的方程有无穷多解，
故有：，
故所求点P坐标为（-1，0）或（-49，0）．
点评：本题主要考查了椭圆的性质以及直线与椭圆、圆的关系的综合考查．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．