Question

13．已知定义在R上的函数f（x）满足：①函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称；②对?x∈R，f（$\frac{3}{4}$-x）=f（$\frac{3}{4}$+x）成立；③当x∈[-$\frac{5}{2}$，-$\frac{7}{4}$]时，f（x）=log₂（-3x+2），则f（2012）=-3．

Answer 1

分析 直接利用已知条件求出函数的周期，函数的奇偶性，利用函数的解析式求解所求的表达式的值．

解答 解：定义在R上的函数f（x）满足：函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称；说明函数f（x）是奇函数．
即f（x）=-f（-x）．
对?x∈R，对?x∈R，f（$\frac{3}{4}$-x）=f（$\frac{3}{4}$+x）成立；所以对?x∈R，对?x∈R，f（$\frac{3}{4}$-x）=f（$\frac{3}{4}$+x）=-f（x-$\frac{3}{4}$）成立；可得f（3+x）=f（x），函数的周期为3，
∵当x∈[-$\frac{5}{2}$，-$\frac{7}{4}$]时，f（x）=log₂（-3x+2）．
∵函数是奇函数，
∴当x∈[$\frac{7}{4}$，$\frac{5}{2}$]时，f（x）=-log₂（3x+2）．
∴f（2012）=f（670×3+2）=f（2）=-log₂（3×2+2）=-3．
故答案为：-3．

点评 本题考查抽象函数的应用幂函数的奇偶数的判断，函数的周期的考查与应用，考查转化思想以及计算能力．