Question

17．已知数列{a_n}的各项都是正数，其前n项和S_n=$\frac{{{a}_{n}}^{2}+{a}_{n}}{2}$（n∈N^*），数列{b_n}满足b_n=$\frac{121}{n+1}$（n∈N^*），则当a_n+b_n取最小值时n=10．

Answer 1

分析 求出{a_n}的通项公式，利用基本不等式求出a_n+b_n的最小值及其条件．

解答 解：∵当n=1时，a₁=$\frac{{{a}_{1}}^{2}+{a}_{1}}{2}$，∵a₁＞0，∴a₁=1．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{{{a}_{n}}^{2}-{{a}_{n-1}}^{2}+{a}_{n}-{a}_{n-1}}{2}$，∴a_n+a_n-1=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）．
∵数列{a_n}的各项都是正数，∴a_n+a_n-1≠0，∴a_n-a_n-1=1．
∴{a_n}是以1为首项，以1为公差的等差数列．∴a_n=n．
∴a_n+b_n=n+1+$\frac{121}{n+1}$-1≥2$\sqrt{121}$-1=21．当且仅当n+1=$\frac{121}{n+1}$即n=10时取等号．
故答案为10．

点评 本题考查了数列的递推公式，基本不等式，等差数列的通项公式，属于中档题．