Question

（本小题满分14分）

设定义在区间上的函数的图像为C，点A、B的坐标分别为且为图像C上的任意一点，O为坐标原点，当实数满足时，记向量恒成立，则称函数在区间上可在标准k下线性近似，其中k是一个确定的正数。

（Ⅰ）求证：A、B、N三点共线

（Ⅱ）设函数在区间[0，1]上可的标准k下线性近似，求k的取值范围；

（Ⅲ）求证：函数在区间上可在标准下线性近似。

（参考数据：e=2.718,ln（e-1）=0.541）

Answer 1

解(Ⅰ)由=λ+(1－λ)得到=λ，

所以B，N，A三点共线. ………3分                           

(Ⅱ)由x=λ x₁+(1－λ) x₂与向量=λ+(1－λ)，得N与M的横坐标相同．

对于 [0，1]上的函数y=x²，A(0，0)，B(1，1)，

则有，故；

所以k的取值范围是．………8分            

(Ⅲ)对于定义在上的函数，A()，B()，    

则直线AB的方程，………10分

令，其中，

于是，       

列表如下：

x	em	(em，em+1－em)	em+1－em	(em+1－em，em+1)	em+1
		+	0	－
	0	增		减	0

则，且在处取得最大值，

又0.123，从而命题成立．  ………14分