Question

在直角坐标系中，O为坐标原点，直线l经过点P（3，

2

）及双曲线

x2

3

-y2=1的右焦点F．
（1）求直线l的方程；
（2）如果一个椭圆经过点P，且以点F为它的一个焦点，求椭圆的标准方程；
（3）若在（1）、（2）情形下，设直线l与椭圆的另一个交点为Q，且

PM

=λ

PQ

，当|

OM

|最小时，求λ的值．

Answer 1

分析：（1）确定双曲线的右焦点坐标，利用两点式，可求方程；
（2）设出椭圆的标准方程，利用焦点坐标及点P在椭圆上，求出几何量，即可得到椭圆的标准方程；
（3）直线方程，代入椭圆方程，求出Q的坐标，进而可

PQ

，

OM

的坐标，求模长，利用配方法求最值，即可得到结论．

解答：解：（1）由题意双曲线

x2

3

-

y2

1

=1的右焦点为F（2，0）
∵直线l经过点P（3，

2

），F（2，0）
∴根据两点式，得所求直线l的方程为

y-0

2 -0

=

x-2

3-2

即y=

2

（x-2）．
∴直线l的方程是y=

2

（x-2）．
（2）设所求椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
∵一个焦点为F（2，0）
∴c=2，即a²-b²=4  ①
∵点P（3，

2

）在椭圆上，
∴

9

a2

+

2

b2

=1 ②
由①②解得a²=12，b²=8
所以所求椭圆的标准方程为

x2

12

+

y2

8

=1；
（3）由题意，直线方程代入椭圆方程可得x²-3x=0
∴x=3或x=0
∴y=

2

或y=-2

2

∴Q（0，-2

2

）      
∴

PQ

=(-3，-3

2

)
∴

PM

=λ

PQ

=(-3λ，-3

2

λ)，
∴

OM

=

OP

+

PM

=(3-3λ，

2

-3

2

λ)
∴|

OM

|=

(3-3λ)2+( 2 -3 2 λ)2

=

27λ2-30λ+11

=

27(λ- 5 9 )2+ 8 3

∴当λ=

5

9

时，|

OM

|最小．

点评：本题考查直线与椭圆的方程，考查向量知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．