Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD=4，BD=8，平面PAD⊥平面ABCD，AB=2DC=4 ． （Ⅰ）设M是线段PC上的一点，证明：平面BDM⊥平面PAD
（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明：在△ABD中，AD=4，BD=8，AB=4 ， ∵AD2+BD2=AB2 ，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BD．
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
BD平面ABCD，
∴BD⊥平面PAD，
又BD平面MBD，
∴平面MBD⊥平面PAD．
（Ⅱ）解：过P作PO⊥AD交AD于O，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
PO平面PAD，
∴PO⊥平面ABCD．
∴线段PO为四棱锥P﹣ABCD的高，
在四边形ABCD中，∵AB∥DC，AB=2DC，
∴四边形ABCD是梯形，在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为 = ，
即梯形ABCD的高为 ，
∴梯形ABCD的面积为S= =24．
∴VP﹣ABCD= =16 ．

【解析】（Ⅰ）在△ABD中，由AD2+BD2=AB2 ， 可得∠ADB=90°．又平面PAD⊥平面ABCD，可得BD⊥平面PAD，夹角证明．（Ⅱ）过P作PO⊥AD交AD于O，利用线面垂直的性质定理可得：PO⊥平面ABCD．即线段PO为四棱锥P﹣ABCD的高，利用梯形的面积计算公式可得梯形ABCD的面积为S．即可得出VP﹣ABCD ．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用平面与平面垂直的判定的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．